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二叉树【BST】

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当所有的静态查找结构添加和删除一个数据的时候，整个结构都需要重建。这对于常常需要在查找过程中动态改变数据而言，是灾难性的。因此人们就必须去寻找高效的动态查找结构，我们在这讨论一个非常常用的动态查找树——二叉查找树 。

 

二叉查找树的特点

 

下面的图就是两棵二叉查找树，我们可以总结一下他的特点：

(1) 若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值

(2) 若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值
(3) 它的左、右子树也分别为二叉查找树

 

 

我们中序遍历这两棵树发现一个有序的数据序列： 【1  2  3  4  5  6  7  8 】

 

 

二叉查找树的操作

 

插入操作：

现在我们要查找一个数9，如果不存在则，添加进a图。我们看看二叉查找树动态添加的过程：

1). 数9和根节点4比较(9>4)，则9放在节点4的右子树中。

2). 接着，9和节点5比较(9>5)，则9放在节点5的右子树中。

3). 依次类推：直到9和节点8比较(9>8)，则9放在节点8的右子树中，成为节点8的右孩子。

这个过程我们能够发现，动态添加任何一个数据，都会加在原树结构的叶子节点上，而不会重新建树。 由此可见，动态查找结构确实在这方面有巨大的优势。

 

删除操作：

如果二叉查找树中需要删除的结点左、右子树都存在，则删除的时候需要改变一些子树结构，但所需要付出的代价很小。

 

具体的插入，删除算法请参加《数据结构算法与应用——搜索树》P5-8。[该章节已经上传到《查找结构专题(6)：动态查找树比较 》中]。

 

 

二叉查找树的效率分析

 

 

那么我们再来看看二叉查找树的效率问题

 

很显然，在a,b两图的二叉查找树结构中查找一个数据，并不需要遍历全部的节点元素，查找效率确实提高了。但是有一个很严重的问题：我们在a图中查找8需要比较5次数据，而在B图中只需要比较3次。更为严重的是：如果按有序序列[1 2 3 4 5 6 7 8]建立一颗二叉查找树，整棵树就退化成了一个线性结构（如c输入图：单支树），此时查找8需要比较8次数据，和顺序查找没有什么不同。

总结一下：最坏情况下，构成的二叉排序树蜕变为单支树，树的深度为n，其查找时间复杂度与顺序查找一样O(N)。最好的情况是二叉排序树的形态和折半查找的判定树相同，其平均查找长度和log2(N)成正比（O(log2(n))）。

 

这说明：同样一组数据集合，不同的添加顺序会导致查找树的结构完全不一样，直接影响了查找效率。

 

那么如何解决这个问题呢? 我们会在下面的专题中：《平衡二叉树》 中来解决。

 

下面是java实现的二叉查找树（说句老实话，没有指针的java实现数据结构真是复杂）：

Java代码 复制代码
  1. package net.hr.algorithm.search;   
  2.   
  3. import java.util.ArrayList;   
  4.   
  5. /**  
  6.  * 二叉树节点结构  
  7.  * @author heartraid  
  8.  */  
  9. class BSTNode<E extends Comparable<E>>{   
  10.     /**结点关键字*/  
  11.     E key=null;   
  12.     /**直接父亲结点*/  
  13.     BSTNode<E> parent=null;   
  14.     /**结点左子树的根节点*/  
  15.     BSTNode<E> lchild=null;   
  16.     /**结点右子树的根节点*/  
  17.     BSTNode<E> rchild=null;   
  18.        
  19.     BSTNode(E k){   
  20.         this.key=k;   
  21.     }   
  22.   
  23. }   
  24. /**  
  25.  * 二叉查找树 Binary Search Tree(BST)  
  26.  * @author heartraid  
  27.  *  
  28.  */  
  29. public class BST<E extends Comparable<E>> {   
  30.     /**树根*/  
  31.     private BSTNode<E> root=null;   
  32.        
  33.     public BST(){   
  34.     }   
  35.        
  36.     /**  
  37.      * BST 查询关键字  
  38.      * @param key 关键字  
  39.      * @return 查询成功/true, 查询失败/false  
  40.      */  
  41.     public boolean search(E key){   
  42.         System.out.print("搜索关键字["+key+"]：");   
  43.         if(key==null||root==null){   
  44.             System.out.println("搜索失败");   
  45.             return false;   
  46.         }   
  47.         else{   
  48.             System.out.print("搜索路径[");   
  49.             if(searchBST(root,key)==null){   
  50.                 return false;   
  51.             }   
  52.             else return true;   
  53.                    
  54.         }   
  55.     }   
  56.     /**  
  57.      * BST插入关键字  
  58.      * @param key 关键字  
  59.      * @return 插入成功/true, 插入失败/false  
  60.      */  
  61.     public boolean insert(E key){   
  62.         System.out.print("插入关键字["+key+"]：");   
  63.         if(key==null) return false;   
  64.         if(root==null){   
  65.             System.out.println("插入到树根。");   
  66.             root=new BSTNode<E>(key);   
  67.             return true;   
  68.         }   
  69.         else{   
  70.             System.out.print("搜索路径[");   
  71.             return insertBST(root,key);   
  72.         }   
  73.     }   
  74.        
  75.     public boolean delete(E key){   
  76.         System.out.print("删除关键字["+key+"]：");   
  77.         if(key==null||root==null){   
  78.             System.out.println("删除失败");   
  79.             return false;   
  80.         }   
  81.         else{   
  82.             System.out.print("搜索路径[");   
  83.                
  84.             //定位到树中待删除的结点   
  85.             BSTNode<E> nodeDel=searchBST(root,key);   
  86.             if(nodeDel==null){   
  87.                 return false;   
  88.             }   
  89.             else{   
  90.                 //nodeDel的右子树为空,则只需要重接它的左子树   
  91.                 if(nodeDel.rchild==null){   
  92.                        
  93.                     BSTNode<E> parent=nodeDel.parent;   
  94.                     if(parent.lchild.key.compareTo(nodeDel.key)==0)   
  95.                         parent.lchild=nodeDel.lchild;   
  96.                     else  
  97.                         parent.rchild=nodeDel.lchild;   
  98.                 }   
  99.                 //左子树为空,则重接它的右子树   
  100.                 else if(nodeDel.lchild==null){   
  101.                     BSTNode<E> parent=nodeDel.parent;   
  102.                     if(parent.lchild.key.compareTo(nodeDel.key)==0)   
  103.                         parent.lchild=nodeDel.rchild;   
  104.                     else  
  105.                         parent.rchild=nodeDel.rchild;   
  106.                 }   
  107.                 //左右子树均不空   
  108.                 else{   
  109.                     BSTNode<E> q=nodeDel;   
  110.                     //先找nodeDel的左结点s   
  111.                     BSTNode<E> s=nodeDel.lchild;   
  112.                     //然后再向s的右尽头定位(这个结点将替代nodeDel)，其中q一直定位在s的直接父亲结点   
  113.                     while(s.rchild!=null){    
  114.                         q=s;   
  115.                         s=s.rchild;   
  116.                     }   
  117.                     //换掉nodeDel的关键字为s的关键字   
  118.                     nodeDel.key=s.key;   
  119.                     //重新设置s的左子树   
  120.                     if(q!=nodeDel)    
  121.                         q.rchild=s.lchild;   
  122.                     else  
  123.                         q.lchild=s.lchild;   
  124.                 }   
  125.                 return true;   
  126.             }   
  127.         }   
  128.     }   
  129.        
  130.     /**  
  131.      * 递归查找关键子  
  132.      * @param node 树结点  
  133.      * @param key 关键字  
  134.      * @return 查找成功，返回该结点，否则返回null。  
  135.      */  
  136.     private BSTNode<E> searchBST(BSTNode<E> node, E key){   
  137.         if(node==null){   
  138.             System.out.println("].  搜索失败");   
  139.             return null;   
  140.         }   
  141.         System.out.print(node.key+" —>");   
  142.         //搜索到关键字   
  143.         if(node.key.compareTo(key)==0){   
  144.             System.out.println("].  搜索成功");   
  145.             return node;   
  146.         }   
  147.         //在左子树搜索   
  148.         else if(node.key.compareTo(key)>0){   
  149.                 return searchBST(node.lchild,key);   
  150.         }   
  151.         //在右子树搜索   
  152.         else{   
  153.             return searchBST(node.rchild,key);   
  154.         }   
  155.     }   
  156.        
  157.     /**  
  158.      * 递归插入关键字  
  159.      * @param node 树结点  
  160.      * @param key 树关键字  
  161.      * @return true/插入成功，false/插入失败  
  162.      */  
  163.     private boolean insertBST(BSTNode<E> node, E key){   
  164.         System.out.print(node.key+" —>");   
  165.         //在原树中找到相同的关键字，无需插入。   
  166.         if(node.key.compareTo(key)==0)    
  167.         {   
  168.             System.out.println("].  搜索有相同关键字，插入失败");   
  169.             return false;   
  170.         }   
  171.         else{   
  172.             //搜索node的左子树   
  173.             if(node.key.compareTo(key)>0){   
  174.                 //如果当前node的左子树为空，则将新结点key node插入到左孩子处   
  175.                 if(node.lchild==null) {   
  176.                     System.out.println("].  插入到"+node.key+"的左孩子");   
  177.                     BSTNode<E> newNode=new BSTNode<E>(key);    
  178.                     node.lchild=newNode;   
  179.                     newNode.parent=node;   
  180.                     return true;   
  181.                 }   
  182.                 //如果当前node的左子树存在，则继续递归左子树   
  183.                 else return insertBST(node.lchild, key);   
  184.             }   
  185.             //搜索node的右子树   
  186.             else{   
  187.                 if(node.rchild==null){   
  188.                     System.out.println("].  插入到"+node.key+"的右孩子");   
  189.                     BSTNode<E> newNode=new BSTNode<E>(key);    
  190.                     node.rchild=newNode;   
  191.                     newNode.parent=node;   
  192.                     return true;   
  193.                 }   
  194.                 else return insertBST(node.rchild,key);   
  195.             }   
  196.         }   
  197.            
  198.     }   
  199.     /**  
  200.      * 得到BST根节点  
  201.      * @return BST根节点f  
  202.      */  
  203.     public BSTNode<E> getRoot(){   
  204.         return this.root;   
  205.     }   
  206.     /**  
  207.      * 非递归中序遍历BST  
  208.      */  
  209.     public void InOrderTraverse(){   
  210.         if(root==null)   
  211.             return;   
  212.         BSTNode<E> node=root;   
  213.         ArrayList<BSTNode<E>> stack=new ArrayList<BSTNode<E>>();       
  214.         stack.add(node);   
  215.         while(!stack.isEmpty()){   
  216.             while(node.lchild!=null){   
  217.                 node=node.lchild;   
  218.                 stack.add(node);   
  219.             }   
  220.             if(!stack.isEmpty()){   
  221.                 BSTNode<E> topNode=stack.get(stack.size()-1);   
  222.                 System.out.print(topNode.key+" ");   
  223.                 stack.remove(stack.size()-1);   
  224.                 if(topNode.rchild!=null){   
  225.                     node=topNode.rchild;   
  226.                     stack.add(node);   
  227.                 }   
  228.             }   
  229.         }   
  230.            
  231.            
  232.     }   
  233.        
  234.     /**  
  235.      * 测试  
  236.      */  
  237.     public static void main(String[] args) {   
  238.         BST<Integer> tree=new BST<Integer>();   
  239.         tree.insert(new Integer(100));   
  240.         tree.insert(new Integer(52));   
  241.         tree.insert(new Integer(166));   
  242.         tree.insert(new Integer(74));   
  243.         tree.insert(new Integer(11));   
  244.         tree.insert(new Integer(13));   
  245.         tree.insert(new Integer(66));   
  246.         tree.insert(new Integer(121));   
  247.            
  248.                 tree.search(new Integer(11));   
  249.                 tree.InOrderTraverse();   
  250.            
  251.                 tree.delete(new Integer(11));   
  252.         tree.InOrderTraverse();   
  253.   
  254.     }   
  255.   
  256. }  
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| 静态查找结构综述
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